常见分布

正太分布

正态分布有两个参数，即期望（均数）$\mu$和标准差$\sigma$，${\sigma }^2$为方差。

当$\mu =0,\sigma =1$时，正态分布就成为标准正态分布

任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量，即若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：

$X^{\ast }=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

其中 $X^{\ast }$ 为标准正态变量。

性质

常用性质：

若 $X\sim N(0,1)$ ：

$\mathrm{\Phi }(-a)=1-\mathrm{\Phi }(a)$
$P(X>a)=1-\mathrm{\Phi }(a)$
$P(a<x<b)=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$
$P(|X|<c)=2\mathrm{\Phi }(c)-1,(c\ge 0)$

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$：

$P(X\le c)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$
$P(a<x\le b)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$

其他的类似。

正态分布常用的 $3\sigma$ 原则：

$\begin{array}{rl}P(|X-\mu |<k\sigma )& =\mathrm{\Phi }(k)-\mathrm{\Phi }(-k)\\ & =2\mathrm{\Phi }(k)-1\\ & =\{\begin{array}{l}0.6826,k=1,\\ 0.9545,k=2,\\ 0.9973,k=3.\end{array}\end{array}$

代码

import numpy as np          
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

def normfunLine(mean,std):
    #normfun正态分布函数，mu: 均值，sigma:标准差，pdf:概率密度函数，np.exp():概率密度函数公式
    def normfun(x,mu, sigma):
        pdf = np.exp(-((x - mu)**2) / (2* sigma**2)) / (sigma * np.sqrt(2*np.pi))
        return pdf

    # x的范围为60-150，以1为单位,需x根据范围调试
    x = np.arange(60, 150,1)

    # x数对应的概率密度
    y = normfun(x, mean, std)

    # 参数,颜色，线宽
    plt.plot(x,y, color='g',linewidth = 1)


    plt.title('IQ distribution')
    plt.xlabel('IQ score')
    plt.ylabel('Probability')
    plt.show()

normfunLine(100,15)

二项式分

记 $X$ 为 $n$重伯努利试验中成功的事件（记为 $A$ ）的次数，则 $X=0,1,2,\cdots ,n.$ $X$ 服从二项分布。记 $p$ 为事件 $A$ 发生的概率， $X$ 的分布列为：

$P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n.$

记 $X\sim b(n,p)$

数学期望： $np$
方差：$np(1-p)$

泊松分布（Poisson Distribution）

分布列：

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda },k=0,1,2,\cdots$

记 $X\sim P(\lambda )$。常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。

数学期望: $\lambda$
方差: $\lambda$

超几何分布（Hypergeometric Distibution）

设有 $N$$N$N 件产品，其中有 $M$$M$M 件不合格品。若从中不放回地随机抽取 $n$$n$n 件，则其中含有的不合格品的件数 $X$$X$X 服从超几何分布，分布列为：

$P(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})},k=0,1,\cdots ,r$

记为 $X\sim h(n,N,M)$.其中 $r=min\{M,n\}$，且 $M⩽N,n⩽N.$$M⩽N,n⩽N.$ 均为正整数。

数学期望： $n\frac{M}{N}$
方差： $\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$

几何分布（Geometric Distribution）

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ,如果 $X$ 为事件 $A$首次出现时的试验次数，则 $X=1,2,\cdots$ 。 $X$ 服从几何分布，分布列为：

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots$

记作 $X\sim Ge(p)$ 。

应用举例：

1. 某产品的不合格率为 $0.05$ ，首次查到不合格品的检查次数 $X\sim Ge(0.05)$
2. 某射手的命中率为 $0.8$$0.8$0.8 ，首次命中的射击次数 $X\sim Ge(0.8)$
3. 掷一颗骰子，首次出现六点的投掷次数 $X\sim Ge\left(\frac{1}{6}\right)$
4. ……

数学期望： $\frac{1}{p}$
方差： $\frac{1-p}{p^2}$

均匀分布

若随机变量 $X$的密度函数为：

$p(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},a<x<b,\\ 0,其他.\end{array}$

称 $X$服从区间 $(a,b)$上的均匀分布，记作 $X\sim U(a,b)$ ，其分布函数：

$F(x)=\{\begin{array}{l}0,x<a,\\ \frac{x-a}{b-a},a\le x<b,\\ 1,x\ge b.\end{array}$

均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。

数学期望： $\frac{a+b}{2}$
方差： $\frac{(b-a{)}^2}{12}$

指数分布

若随机变量 的密度函数为：

$p(x)=\{\begin{array}{l}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},x\ge 0.\\ 0,x<0.\end{array}$

则称 $X$服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim Exp(\lambda )$。指数分布的分布函数为：

$F(x)=\{\begin{array}{l}1-{\mathrm{e}}^{\lambda x},x\ge 0,\\ 0,x<0.\end{array}$

指数分布是一种偏态分布，指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布，譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。

数学期望： $\frac{1}{\lambda }$
方差： $\frac{1}{{\lambda }^2}$

贝塔分布*

先给出贝塔函数：

$\mathrm{B}(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx$

其中参数 $a>0,b>0$ 。贝塔函数具有以下性质：

1. $B(a,b)=B(b,a)$

2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系：

$\mathrm{B}(a,b)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$

贝塔分布：

若随机变量 $X$ 的密度函数为：

$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1},& 0<x<1,\\ 0,& 其他.\end{array}$

则称 $X$服从贝塔分布，记作 $X\sim Be(a,b)$ ，其中 $a>0,b>0$ 都是形状参数。

数学期望： $\frac{a}{a+b}$
方差： $\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$